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Binomische Formeln

Das Binom

Ein Binom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus zwei Termen besteht, die durch ein Plus- oder Minuszeichen getrennt sind. Ein bekanntes Beispiel ist das quadratische Binom, das die Form (a+b)² hat. Es gibt aber noch weiter Binome. So ist auch 2x + 5 oder 2x² + 3xy³ ein Binom

Vom Produkt zur Summe: Ausmultiplizieren

Das Ausmultiplizieren ist eine Rechenoperation in der Mathematik, bei der die Multiplikation von Faktoren durchgeführt wird. Dabei werden die Terme miteinander multipliziert und die Potenzen addiert. Zum Beispiel ergibt das Ausmultiplizieren von (x+2)(x-3) den Ausdruck x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6 Auf der Grafik und rechts im Video werden dir weiter Beispiele zum Ausmultiplizieren gezeigt.

Drei Spezialfälle werden als binomische Formeln bezeichnet.

Binomische Formel: Die erste binomische Formel lautet: (a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Binomische Formel: Die zweite binomische Formel lautet: (a - b)² = a² - 2ab + b²

3. Binomische Formel: Die dritte binomische Formel lautet: (a + b)(a - b) = a² - b²

Binomische Formeln - Übungen

Binomische Formeln - Übungen

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Von der Summe zum Produkt: Faktorisieren

Faktorisieren ist der Prozess, bei dem eine mathematische Gleichung oder ein Ausdruck in seine grundlegenden Faktoren zerlegt wird. Dies ist ähnlich wie das Zerlegen einer Zahl in ihre Primfaktoren.

Zum Beispiel kann die Zahl 15 als Produkt der Primzahlen 3 und 5 faktorisiert werden (15 = 3 · 5).

In der Algebra kann der Ausdruck x²−y² als (x−y)(x+y) faktorisiert werden. Dies ist bekannt als die Differenz zweier Quadrate.

Ein weiteres Beispiel ist der Ausdruck x²+2xy+y².

Dieser kann als (x+y)² faktorisiert werden. Dies ist bekannt als das Quadrat eines Binoms.

Das Faktorisieren ist ein wichtiger Prozess in der Mathematik, da es uns hilft, komplexe Probleme zu vereinfachen und zu lösen.

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Faktorisierungsschritte

Einfaches Ausklammern: 6a²b + 12ab - 9b³ = 3b (2a² + 4a - 3b²) → Ausklammern des ggT

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2x-iges Ausklammern: 3x - 3y + bx - by = 3 (x - y) + b (x - y) = (x - y)(3 + b) → Faktorisieren in 2 Schritten

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Zerlegung in Binomische Formeln: 1. Binomische Formel: x² + 10x + 25 = (x + 5)² 2. Binomische Formel: x² - 14x + 49 = (x - 7)² 3. Binomische Formel: x² - 81 = (x - 9)(x + 9)

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Zerlegung in Linearfaktoren Eine Summe der Form x² + px + q soll auf die Form (x + a)(x + b) gebracht werden, also als Produkt von zwei Binomen geschrieben werden. Also sind zwei Zahlen a, b gesucht, da dass q = a mal b und p = a + b ist. x² + 8x + 15 = (x + 5)(x + 3) x² - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)

Gehe dabei nun wie im Begleitheift Seite 38 beschrieben vor!

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